Maclaurin ma decomposition o nisi galuega tauave

Suesueina tatau ona matematika soifua iloa e faapea o le aofaiga o se faasologa mana i le vaitaimi o convergence o le tele o tatou, o se fuainumera e faifai pea ma le faatapulaaina o taimi se galuega tauave differentiated. O le fesili e tulai mai: e mafai ai ona finau o le tuuina mai o se f galuega tauave soʻona faia (x) - o le aofaiga o se faasologa mana? O lona uiga, i lalo o le a tulaga o le f f-NA TUSIA (x) e mafai ona faatusa i se faasologa mana? O le taua o le lomiga lenei o lena e mafai ona suia pe tusa £ faafaifeau f (x) o le aofaiga o nai tuutuuga muamua o se mana faasologa, o se polynomial lena. O se galuega tauave le toe suia o si faaupuga faigofie - polynomial - e talafeagai ma i le foiaina o faafitauli faapitoa i auiliiliga faamatematika, e pei o i le foiaina integrals pe a fuafuaina o faamatalaga e eseese , etc ...

Ua faamaonia, mo nisi f-ii f (x), lea o le pogai o le (n + 1) ina -th e mafai ona fuafuaina, e aofia ai le lata i le vaipanoa o (α - R; x ₀ + R) o se tulaga x = α fua talafeagai o le:

Lenei auala ua faaigoaina i le igoa o le saienitisi lauiloa Taylor Brooke. O se aofaiga o lea ua maua mai i le tasi talu ai, ua taʻua o se faasologa Maclaurin:

O se tulafono lea e mafai ai ona maua ai le faalauteleina i se faasologa Maclaurin:

1. Fuafua pogai o le muamua, lona lua, lona tolu, ... poloaiga.
2. Fuafua oa pogai i x = 0.
3. Faamaumauga faasologa Maclaurin mo lenei galuega tauave, ma ia iloa ai le vaitaimi o convergence.
4. Fuafua vaitaimi (-R; R), pe afai o le vaega residual o fua faatatau Maclaurin

R _n (x) -> 0 mo n -> āoāo lē gata. Afai o se tasi o loo i ai, o le galuega tauave f (x) e tatau ona tutusa ma le aofaiga o le faasologa Maclaurin.

Mafaufau nei le faasologa Maclaurin mo le galuega tauave o tagata taitoatasi.

1. O le mea lea, o le uluai e f (x) = e ^x. O le mea moni, o lo latou uiga ina f-Ia ua maua le tele o poloaiga, ma le f ^{(k) (x)} = e ^x, lea e tutusa k uma numera natura. Sui x = 0. Tatou te maua f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... faavae i le taua muamua, o se aofaiga o e ^x O le a avea e faapea:

2. Maclaurin faasologa mo le f galuega tauave (x) = agasala x. Vave faamaoti e f-NA TUSIA mo uma pogai le iloa o le ai ai, e ese f ^'(x) = cos x = agasala (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = agasala (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = agasala (x + n * k / 2), lea e tutusa k i so o se integer lelei. O, le faia o fuafuaga faigofie, e mafai ona tatou faapea atu o le faasologa mo le f (x) = a agasala x e pei o lenei:

3. Sei o tatou mafaufau f-f iju (x) = cos x. O le iloa mo pogai uma o poloaiga e talafeagai, ma ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Toe, o le ua faia ni fuafuaga, tatou te iloa ai le faasologa mo le f (x) = cos x le a vaai e pei o lenei:

O lea, ua tatou o loo lisiina i le vaega sili ona taua e mafai ona faalauteleina i se faasologa Maclaurin, ae latou faaatoatoa le faasologa Taylor mo nisi galuega tauave. O lenei o le a tatou lisi i latou foi. E tatau foi ona matauina e Taylor faasologa ma Maclaurin faasologa o se vaega taua o le fonotaga faaleaoaoga faasologa o faaiuga i le matematika maualuga. O lea, Taylor faasologa.

1. O le mea muamua o se faasologa o f-ii f (x) = ln (1 + x). E pei o le faataitaiga muamua, mo lenei f tatou (x) = ln (1 + x) e mafai ona gaugau se numera, e faaaoga ai le pepa lautele o faasologa Maclaurin. ae peitai mo lenei vaega e mafai ona maua Maclaurin sili ona faigofie. Integrating se faasologa geometric, tatou te maua ai se numera mo le f (x) = ln (1 + x) o le faataitaiga:

2. Ma le lona lua, lea o le a ia mulimuli i lenei mataupu, o le a se faasologa mo le f (x) = arctg x. Mo x auai i le vaitaimi [-1; 1] o decomposition aloaia:

O na mea uma. I lenei mataupu ua ou suesueina le faasologa ma faasologa Maclaurin Taylor sili ona faaaoga i le matematika e maualuga atu, aemaise lava i le kolisi o le tamaoaiga ma le poto faapitoa.