Differentials - o le mea lenei? Auala e maua ai le eseesega o le galuega?

Faatasi ai ma le pogai latou galuega tauave differentials - ai nisi o talitonuga faavae o le calculus eseesega, le vaega autu o le iloiloga faamatematika. A o inextricably fesootai, e le gata oi latou le tele o seneturi lautele faaaogaina i le foiaina toetoe lava o faafitauli uma e tulai mai i le faagasologa o gaoioiga o faasaienisi ma le poto faapitoa.

O le tulai mai o le mataupu o le eseesega

Mo le taimi muamua na manino mai ai e faapea o sea se eseesega, o se tasi o le faavaeina (faatasi ai ma Isaakom Nyutonom) eseesega calculus mathematician Siamani lauiloa Gotfrid Vilgelm Leybnits. I luma o mathematicians senituri lona 17 lena. faaaogaina lava manatu manino ma faʻanenefu o nisi infinitesimal "atoatoa" i so o se galuega tauave iloa, ma sui o se laiti lava le taua faifai pea ae le tutusa ma o, o loo i lalo lea faatauaina o le galuega tauave e le mafai ona na. O lea ua na o se laa se tasi i le faatomuaga o le manatu o increments infinitesimal o finauga galuega tauave ma o latou increments taitasi o galuega tauave e mafai ona faaalia i le tulaga o le pogai o le e gata ai. Ma o lenei laasaga na aveesea toetoe lava taimi e tasi o loo i luga saienitisi sili e lua.

Faavae i le manaomia o le talanoa inisinia aogā faanatinati faafitauli e faafetaiaia faasaienisi atiina ae vave alamanuia ma tekinolosi, foafoaina Newton ma Leibniz le auala masani o le sailia o galuega tauave a le fua faatatau o le suiga (aemaise lava e faatatau i le saoasaoa masini o le tino o le trajectory iloa), lea e taitaiina atu ai i le folasaga o sea mataupu, e pei o le galuega tauave afua mai i isi ma le eseesega, ma maua foi le fofo faafitauli inverse algorithm pei ona silafia i le lava ia (ma liuliuina) vave savalia e saili le ala ua taitaiina atu ai i le mataupu o le taua Ala.

I le galuega o le Leibniz ma le manatu o Newton muamua ua foliga mai le differentials - ua fuafuaina i le increment o le finauga autu increments Δh galuega tauave Δu e mafai ona faaaogaina ma le manuia e fuafua le tau o gata ai. I se isi faaupuga, ua latou iloa ai e mafai ona avea o se galuega tauave increment i so o se taimi (i totonu o lona silafia e o faamatalaga) e faaalia e ala i lona afua mai i isi uma Δu = y '(x) Δh + αΔh mea α Δh - totoe, vaaia e o pei Δh → 0, o le tele vave nai lo le moni Δh.

E tusa ai ma le faavaeina o auiliiliga faamatematika, o le differentials - E tonu le upu muamua lenei i increments o so o se galuega tauave. E oo lava e aunoa ma le a manino faamatalaina sequences manatu tapulaa ua malamalama intuitively o le eseese o le tau aogā o le afua mai i isi e foliga e galulue pe a Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

E le pei o Newton, o le sa muamua a physicist ma meafaigaluega faamatematika manatu e avea o se meafaigaluega ausilali mo le suesueina o faafitauli faaletino, totogi sili Leibniz gauai i lenei toolkit, e aofia ai se faiga o faailoga vaaia ma ona malamalama faatauaina faamatematika. O ia o lē ua fuafuaina le tusitusiga tagavai o differentials galuega tauave dy = y '(x) dx, dx, ma le afua mai i isi o le galuega tauave finauga o lo latou sootaga y' (x) = dy / dx.

O le faamatalaina o ona po nei

O le a le eseesega i le tulaga o le matematika ona po nei? E lelei e faatatau i le mataupu o le a increment ma liuliuina. Pe afai o le ma liuliuina y e a taua muamua o y y = _1, lea y = y _2, le eseesega y ₂ ─ y ₁ ua taʻua o le taua increment y. e mafai ona lelei le increment. le lelei ma o. O le upu "increment" Ua tofia Δ, Δu faamaumauina (faitau 'Delta y') faaalia ai le taua o le increment y. ina Δu = y ₂ ─ y _1.

Afai o le tau aogā o galuega tauave soʻona faia Δu y = f (x) e mafai ona sui o Δu = A Δh + α, lea A e leai se faalagolago i Δh, t. E. A = const mo le tuuina x, ma le faaupuga α pe Δh → 0 matele ina e oo lava i vave atu nai lo le moni Δh, lea o le muamua ( "matai") se vaitaimi e fuafuaina Δh, ma e mo y = f (x) eseesega, denoted dy po df (x) (faitau le "y de", "de Eff mai X"). Lea differentials - a "autu" linear e tusa ai o le vaega o increments galuega tauave Δh.

faamalamalamaga masini

Ia s = f (t) - o le mamao i se laina saʻo agai mea tulaga mai le tulaga muamua (t - taimi malaga). Increment Δs - o le auala tulaga i se taimi vaitaimi Δt, ma le eseese o AF = f '(t) Δt - lenei ala, o le a faia ai manatu mo le taimi lava lea e tasi Δt, pe afai e taofia le saosaoa f' (t), taunuu i ai i taimi t . Afai o se infinitesimal Δt AF ala faalemafaufau ese mai le moni Δs infinitesimally i ai o se faatulagaga e maualuga atu e tusa ai Δt. Afai o le saoasaoa i le taimi t e le tutusa ma o, o le AF tusa ma taua tuuina tulaga faaituau laiti.

faaliliuga geometric

Ia le laina L o le kalafi o y = f (x). Ona Δ x = MQ, Δu = QM '(tagai i. Ata i lalo). vavae solia Tangent MN Δu i vaega e lua, QN ma NM '. Sili ma Δh o fuafuaina QN = ∙ MQ GS (QMN tulimanu) = f Δh '(x), t. E QN o eseesega dy.

O le vaega lona lua o le eseesega Δu NM'daet ─ dy, pe a umi Δh → 0 NM 'faaitiitia lava televave atu nai lo le increment o le finauga, o lona uiga ei ai le faatulagaga o smallness maualuga atu nai lo Δh. I lenei tulaga, pe afai f '(x) ≠ 0 (tangent lē tutusa povi) vaega tutusa QMʻi QN; i ni isi upu NM 'faaitiitia vave (poloaiga a smallness o lona maualuga) nai lo le increment atoa Δu = QM'. Ua faamaonia lenei mea i le Ata (latalata vaega 'vaega M'k M NM'sostavlyaet laiti pasene uma QM).

O lea, graphically eseesega soʻona faia o galuega tauave e tutusa i le increment o le ordinate o le tangent.

Afua mai i isi ma eseesega

O se vaega i le vaitaimi muamua o le galuega tauave increment faaupuga e tutusa ma le taua o lona f afua mai i isi '(x). O lea la, o le mulimuli faasino - dy = f '(x) Δh po df (x) = f' (x) Δh.

E iloa e le increment o le finauga tutoatasi e tutusa i lona eseesega Δh = dx. E tusa ai, e mafai ona tatou tusi: f '(x) dx = dy.

Mauaina (o nisi taimi e fai atu o le "faaiuga") differentials o loo faatinoina e ala i le tulafono lava lea e tasi e pei o le pogai. Se lisi oi latou ua tuuina atu i lalo.

O le a sili atu le aoao: o le increment o le finauga po o lona eseesega

Iinei e talafeagai ona faia ni faamalamalamaga. f taua sui '(x) eseesega Δh mafai pe a iloiloina x o se finauga. Ae e mafai ona i ai se faigata o le galuega tauave, lea x e mafai ona avea se galuega tauave a le t finauga. Lea o le faatusa o le faaupuga eseese o f '(x) Δh, o se tulafono, e le mafai; vagana ai i le tulaga o le faalagolago linear x = i b +.

A o le f fua '(x) dx = dy, ona i le tulaga o tutoatasi finauga x (lea dx = Δh) i le tulaga o le faalagolago parametric o x t, o eseesega.

Mo se faataitaiga, o le faaupuga 2 x Δh e mo y = x ² lona eseesega pe a x o se finauga. Tatou nei x = t ² ma le manatu finauga t. Ona y = x ² = t ^4.

Ona sosoo lea (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. O lea Δh = 2tΔt + Δt ^2. Lea: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

e le o fuafuaina lenei faaupuga e Δt, ma o lea ua avea nei 2xΔh e le eseesega. E mafai ona maua mai le y faaupuga = x ² = t ^4. O dy tutusa = 4t ³ Δt.

Afai tatou te ave le 2xdx faaupuga, o le eseesega y = x ² mo so o se finauga t. O le mea moni, pe a x = t ² maua dx = 2tΔt.

Lea 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. O le faaupuga differentials faamauina e fesuiaiga eseese e lua feagai.

Suia differentials increments

Afai f '(x) ≠ 0, lea Δu ma tutusa dy (pe Δh → 0); afai f '(x) = 0 (uiga ma dy = 0), latou e le tutusa.

Mo se faataitaiga, pe afai y = x ^2, lea Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ma dy = 2xΔh. Afai x = 3, ona tatou maua Δu = 6Δh + Δh ² ma dy = 6Δh e tutusa tatau Δh ² → 0, pe a x = 0 taua Δu = Δh ² ma dy = 0 e le tutusa.

O lenei mea moni, faatasi ai ma le faatulagaga faigofie o le eseese o (m. E. Linearity e tusa ai Δh), e masani ona faaaoga i le fuafuaina tusa ma, i le manatu ua tofusia ≈ dy Δu mo Δh laiti. Saili e masani lava ona faigofie le galuega tauave eseese nai lo le fuafua le tau tonu o le increment.

Mo se faataitaiga, ua tatou maua apamemea pusa i tafatafa x = 10.00 cm. I le susunuina le pito umi i Δh = 0,001 cm. Faapefea faateleina V pusa tusi? Tatou maua V = x ^2, ina ia dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ Fepuari ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Faateleina eseesega tutusa ΔV dV, ina ia ΔV = 3 cm ^3. le a tuuina atu fuafuaina Full ΔV = 10,01 ─ ³ o ^le 10 ³ = 3.003001. Ae o le taunuuga o digits uma vagana ai le muamua unreliable; o le mea lea, e tatau pea i le tulituli i le 3 cm ^3.

E manino lava, o lenei faiga e aoga pe afai e mafai ona fuafua le tau tuuina ma le mea sese.

galuega tauave eseesega: faataitaiga

Sei o tatou taumafai e maua ai le eseesega o le galuega tauave y = x ^3, le mauaina o le afua mai i isi. Ia tatou tuuina atu le increment finauga Δu ma faauigaina.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Iinei, e le faalagolago i le coefficient A = 3x ² i Δh, ina ia le vaitaimi muamua o le fuafuaina Δh, o le isi tagata 3xΔh Δh ² + ³ pe Δh → 0 faaitiitia vave nai lo le increment o le finauga. O le mea lea, o se tasi o 3x ² Δh o le eseesega o y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx po d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Lea d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy tatou ai nei le galuega tauave y = 1 / x e le afua mai i isi. Ona d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Lea dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials galuega tauave algebraic faavae o loo tuuina atu i lalo.

fuafuaga fuafuaina e faaaoga eseesega

E iloilo le f galuega tauave (x), ma ona afua mai i isi f '(x) i x = a e masani ona faigata, ae ia faia e le tasi i le vaipanoa o x = a le faigofie. Ona oo mai i le fesoasoani a le faaupuga tusa ma

f (a + Δh) f ≈ '(a) Δh + f (a).

O lenei tuuina atu ai se taua tusa ma o le galuega i laiti increments e ala i lona eseesega f Δh '(a) Δh.

O le mea lea, o lenei fua faatatau ua tuuina se faailoga tonu mo le galuega i le faaiuga manatu o se vaega o le a umi Δh o se aofaiga o lona taua i le amataga o le vaega (x = a) ma le eseesega i le amataga lava. Sao atoatoa o le auala mo le fuafuaina o le tulaga faatauaina o le galuega tauave i lalo o loo faaalia ai le ata tusi.

Ae peitai iloa ma le faaupuga tonu mo le taua o le galuega tauave x = a + Δh tuuina mai e fuafaatatau increments gata (po o, alternatively, le taiala a Lagrange)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

pe afai o le tulaga x = a + ξ o loo i le vaitaimi mai x = a e x = a + Δh, e ui lava lona tulaga tonu o le mailoa. O le fua faatatau tonu e mafai ai e iloilo ai le mea sese o le fuafaatatau tonu. Afai tatou te tuu i le ξ fuafaatatau Lagrange = Δh / 2, e ui ua faamuta ona avea saʻo, ae tuuina mai, o se tulafono, o se auala sili atu nai lo le faaupuga muamua i le tulaga o le eseese.

sese o faiga Iloiloga ala i le faaaogaina eseese

Fuaina o meafaigaluega , i mataupu faavae, le saʻo, ma aumai i le faamatalaga fua e talafeagai ma le mea sese. Ua faamatalaina i le faatapulaaina o le sese aiai, po o, i se aotelega, o le tapulaa sese - lelei, manino sili atu i le mea sese i le taua aʻiaʻi (po o le sili ona tutusa i ai). Le faatapulaaina o le sese o le aiga ua taʻua o le quotient maua e vaevaeina ai e ala i le taua aʻiaʻi o le taua fuaina.

Ia tonu fuafaatatau y = f (x) galuega tauave faaaogaina e vychislyaeniya y, ae o le taua o x o le taunuuga fua, ma o le mea lea e aumaia ai le sese y. Ona, e maua ai le le faatapulaaina o le sese aiai │Δu│funktsii y, e faaaoga ai le fua faatatau

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

lea │Δh│yavlyaetsya finauga sese otooto. e tatau ona │Δu│ aofaiga ona lapotopoto agai i luga, e pei ona fuafuaina saʻo lava ia o le toe suia o le increment i le fuafuaina eseesega.