Linear ma faaupuga eseese homogeneous o le poloaiga muamua. faataitaiga o fofo

Ou te manatu e tatau ona tatou amata i le talafaasolopito o le meafaigaluega faamatematika mamalu e pei o faamatalaga e eseese. E pei o le eseesega uma ma calculus taua, na fausia nei faamatalaga e ala i Newton i le senituri lona 17 tuai. Sa talitonu o ia o savali taua tele lona iloaina lea oo lava i le faiga o faailoga faalilolilo, o aso nei e mafai ona faaliliuina e faapea: ". O tulafono uma lava o le natura o loo faamatalaina e ala i le faamatalaga e eseese" Atonu e foliga mai o se faamatalaga soona, ae e moni. So o se tulafono o le fisiki, kemisi, paiolo, e mafai ona faamatalaina e nei faamatalaga e.

Se tele saofaga i le atinae ma le foafoaga o le talitonuga o le faamatalaga e eseese ai le matematika o Euler ma Lagrange. Ua i le seneturi lona 18 latou iloa ma atiina ae le mea o loo suesueina i le taimi nei i le vasega o le iunivesite sinia.

O se tulaga maoae fou i le suesuega o faamatalaga e eseese amata faafetai i Anri Puankare. Ia foafoaina se "talitonuga qualitative o faamatalaga e eseese", lea, faatasi ai ma le talitonuga o galuega tauave a fesuiaiga lavelave saofaga tele i le faavae o topology - o le faasaienisi o le va ma ona meatotino.

O a faamatalaga e eseesega?

E toatele tagata e fefefe o le fuaitau "faaupuga eseesega". Peitai, i lenei mataupu o le a tatou faatulaga mai i le faamatalaga o le uiga moni lea o lenei meafaigaluega faamatematika aoga tele lea o le mea moni e le faigata e pei ona foliga mai o le igoa. Ina ia mafai ona amata ona talanoa e uiga i se muamua-ina faaupuga eseesega, e tatau ona muamua ona masani i le mataupu faavae o loo tuufaasolo mai eo faatasi ma lenei faamatalaga. Ma o le a tatou amata i le eseesega.

eseesega

E toatele tagata e iloa lenei vaitaimi talu mai le aoga maualuga. Ae peitai, e nonofo pea i ai auiliili. Seʻi manatu i le kalafa o le galuega. E mafai ona tatou faateleina ai i se tulaga o so o se vaega ua avea o se laina saʻo. O le a ave manatu e toalua e matua vavalalata le tasi i le isi. O le eseesega i le va o latou fuafua (x po o y) o infinitesimal. Ma ua taʻua o eseesega ma tagata tofia dy (eseesega o y) ma dx (o le eseesega o x). E taua tele le malamalama o le eseese o le o le taua sili, ma o le uiga ma le galuega tauave autu lenei.

Ma o lenei e tatau ona e mafaufau i le elemene nei, lea o le a tatau ona tatou faamalamalama atu le manatu faavae o faaupuga eseese. E - afua mai i isi.

afua mai i isi

tatau ia i tatou uma e faalogo i le aoga ma lenei manatu. Latou te fai mai o le afua mai i isi - o le fua faatatau o le tuputupu ae po o le faaitiitia o le galuega. Ae peitai, o le a sili atu le mautonu i lenei faamatalaga. Ia tatou taumafai e faamatala atu le tuutuuga afua mai i isi o le differentials. Sei o tatou toe foi atu i le galuega tauave vaitaimi infinitesimal i manatu e lua, lea o loo tu i se mamao maualalo mai le tasi i le isi. Ae e oo lava i tala atu o lenei galuega tauave mamao le taimi e suia i nisi o tulaga faatauaina. Ma faamatala mai lena suiga ma sau i luga ma a afua mai i isi o le a ese ona tusia e pei o le fua faatusatusa o le differentials: f (x) '= df / dx.

O lenei e talafeagai le mafaufau i le meatotino faavae o le afua mai i isi. E na o le tolu:

1. e mafai ona sui afua mai i isi aofaiga o tupe po o le eseesega o le aofaiga po o se eseesega o le pogai: (a + b) '= a' + b ', ma le (se e)' = a'-b.
2. Le meatotino lona lua e fesootai ma fanafanau. Afua mai i isi galuega - o le aofaiga o le galuega o se tasi o galuega tauave i se isi afua mai i isi: (a b *) '= a' * b + a * b.
3. O le afua mai i isi o le eseesega e mafai ona tusia o le faamatalaga lenei: (a b /) '= (a' * Ba * b ') / b ^2.

o mai i le ono uma nei vaega mo le sailia o tali i eseesega faamatalaga e o le poloaiga muamua.

Foi, o loo i pogai vaega. Manatu ia i tatou se galuega tauave a le z, lea e faalagolago i luga o le fesuiaiga x ma y. Ina ia iloa le afua mai i isi vaega o lenei galuega tauave, mo se faataitaiga, i x, e tatau ona tatou ave le y ma liuliuina mo faifai pea ma faigofie ona le eseesega.

taua

O se isi manatu faavae taua - taua. O le mea moni o le faafeagai o le afua mai i isi. Integrals tele ni ituaiga, ae o le faigofie fofo o faamatalaga e eseese, tatou te manaomia e sili ona faatauvaa integrals faavavau.

O lea, o le a le taua? Sei o tatou fai atu ua tatou maua nisi sootaga f o x. Tatou ave mai ai le taua ma maua se galuega tauave F (x) (ua masani ona taʻua o se anamua), lea o le a afua mai i isi o le galuega muamua. Lea F (x) '= f (x). O lona uiga foi o le taua o le afua mai i isi e tutusa i le galuega muamua.

I le foiaina faamatalaga e eseese e taua tele e malamalama i le uiga ma galuega tauave a le taua, talu mai lava e masani ona maua e ave i latou e maua ni fofo.

O le eseese o faamatalaga e faalagolago i lo latou natura. I le isi vaega o le a tatou vaai i le ituaiga o faamatalaga e muamua eseesega poloaiga, ma aoao i le ala e foia ai.

Vasega o faamatalaga e eseese

"Diffury" vaevaeina i le poloaiga o le pogai o aafia ai i latou. O lea o loo i ai muamua, lona lua, lona tolu po o le sili poloaiga. E mafai foi ona vaevaeina i ni vasega: masani ma vaega.

I lenei mataupu, o le a tatou mafaufau i faamatalaga eseesega masani o le poloaiga muamua. Faataitaiga ma le tali tatou te talanoaina i le vaega nei. Tatou iloiloina na o le TAC aua o le ituaiga o faamatalaga e sili ona taatele. Masani vaevaeina i subspecies: ma fesuiaiga separable, homogeneous ma heterogeneous. Sosoo ai o le a outou aoao ai pe faapefea ona ese le tasi mai le isi, ma aoao i le auala e foia ai.

I le faaopoopo atu, e mafai ona tuufaatasi nei faamatalaga e, ina ua mavae ona matou maua se faiga o eseesega faamatalaga e o le poloaiga muamua. O na faiga, tatou te vaavaai foi i ai ma aoao ai pe faapefea ona e foia.

Aisea tatou iloiloina na o le poloaiga muamua? Talu ai e talafeagai ina ia amata i se faigofie ma faamatala e fesootai uma ma le faamatalaga e eseese, i se tasi o mataupu faavae e le mafai.

Faamatalaga e faatasi ma fesuiaiga separable

O atonu o le faamatalaga e eseese poloaiga muamua e sili ona faigofie. Nei o ni faataitaiga e mafai ona tusia o le: y '= f (x) * f (y). Ina ia foia lenei faaupuga tatou te manaomia le faatusa fua faatatau o le afua mai i isi e pei o le fua faatusatusa o le differentials: y '= dy / dx. I ai tatou te maua ai le faamatalaga: dy / dx = f (x) * f (y). O lenei e mafai ona tatou liliu atu i le auala o le foiaina o tulaga o faataitaiga: tuueseese le fesuiaiga i vaega, ie anapogi i luma o le ma liuliuina y uma i le vaega o loo i ai dy, ma faia foi le ma liuliuina x ... Tatou te maua se faaupuga o le pepa: dy / f (y) = f (x) dx, lea ua ausia e ala i le le integrals o le vaega e lua. Aua nei galo e uiga i le tumau e te manao e tuu le tuanai tuufaatasia.

O le tali i so o se "diffura" - o se galuega tauave a x e y (io tatou tulaga), po o pe afai ua i ai se tulaga faafuainumera, o le tali o se fuainumera. Seʻi o tatou iloilo se faataitaiga sima le mataupu atoa o le faaiuga:

y '= 2y * agasala (x)

Siitia le fesuiaiga i itu eseese:

dy / y = 2 * agasala (x) dx

O lenei ave le integrals. e mafai ona maua i latou uma i se laulau faapitoa o integrals. Ma ua tatou maua:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Afai e manaomia, e mafai ona tatou faailoa atu le "y" e pei o se galuega tauave o le "X". O lenei e mafai ona tatou fai atu ua foia o tatou faaupuga eseese, pe afai e faamaoti tulaga. E mafai ona faamaoti tulaga, mo se faataitaiga, y (n / 2) = e. Ona o le a tatou na o le suia o le taua o nei fesuiaiga i le faaiuga ma maua ai le taua o le faifai pea. I o tatou faataitaiga, e 1.

Homogeneous poloaiga muamua faamatalaga e eseese

Lenei i luga o le vaega sili ona faigata. e mafai ona tusia faamatalaga e eseese poloaiga muamua Homogeneous i se faiga aoao o: y '= z (x, y). E tatau ona matauina e le galuega tauave taumatau o le fesuiaiga e lua o toniga, ma e mafai ona vaevaeina i vaega e lua e faalagolago i: z x ma z o y. Siaki pe o le faaupuga o homogeneous pe leai, e fai si faigofie: tatou te faia le suiga x = k * x ma y = k * y. O lenei ua tatou oti uma k. Afai e lafo nei tusi, lea o le faaupuga homogeneous ma mafai ona saogalemu faagasolo i lona fofo. Vaavaai i luma, matou te faapea atu: o le mataupu faavae o le vaifofo o nei faataitaiga e matua faigofie foi.

Tatou te manaomia le faia o le suiga: y = t (x) * x, lea t - o se galuega tauave e faalagolago foi i x. Ona e mafai ona tatou faailoa atu le afua mai i isi: y '= t' (x) * x + t. Suia uma lenei io tatou faaupuga uluai ma faafaigofie ai, ua ia i tatou le faataitaiga o le tuueseeseina o fesuiaiga t pei x. Foia ai ma maua le faalagolago o le t (x). Ina ua matou taunuu ai, na suia o tatou y suia talu = t (x) * x. Ona tatou maua le faalagolago o y i x.

Ina ia sili atu ona manino, o le a tatou malamalama i se faataitaiga: x * y '= yx * e y / x.

Ina ua siaki le toe suia o ifo uma. Faapea, o le moni homogeneous le faamatalaga. Nei faia se isi suiga, tatou te talanoa e uiga i: y = t (x) * x ma y '= t' (x) * x + t (x). Ina ua mavae le faafaigofieina le faamatalaga lenei: t '(x) * x = -e t. Tatou filifili e maua se faataitaiga ma tuueseeseina fesuiaiga ma tatou te ^{maua ai: e -t = ln (C *} x). Tatau lava ona tatou suia t e y / x (aua afai y = t * x, ona t = y / x), ma tatou te maua le ^{tali: e -y / x = ln (} x * C).

faaupuga eseese Linear o le poloaiga muamua

Oo i le taimi e mafaufau i le isi autu lautele. O le a tatou vaai heterogeneous muamua-ina faamatalaga e eseese. E faapefea ona latou e ese mai le lua muamua? Sei o tatou feagai ai. faamatalaga e eseese poloaiga muamua Linear i le tulaga aoao o le faamatalaga e mafai ona tusia e faapea: y '+ g (x) * y = z (x). E tatau ona faamanino mai e z (x) ma g (x) e mafai ona ia faatauaina e le aunoa.

O iinei se faataitaiga: y '- y * x = x ^2.

E lua ni auala e foia ai, ma e tatou te poloaia Seʻi o tatou iloilo i laʻua uma. O le mea muamua - o le auala o suiga o constants soʻona faia.

Ina ia foia le faamatalaga i lenei faiga, e talafeagai ona faatusaina le muamua itu taumatau i o, ma foia ai o le taunuuga o faaupuga lea ina ua maea le faaliliuina atu o vaega avea:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^F y = F ₁ * e ^{x2 / 2.}

O lenei e talafeagai e sui ai le faifai pea F ₁ i le v galuega tauave (x), o le a tatou maua.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tusi a afua mai i isi suia:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Ma suia nei faaupuga i le faaupuga uluai:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

E mafai ona e vaai i le itu tauagavale o le tuutuuga e lua o loo faaitiitia. Afai o nisi faataitaiga e le tupu, ona ua e faia se mea sese. Tatou te faaauau pea i le:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

O lenei ua tatou foia ai le faaupuga e masani ai i lea e te manao e tuueseese le fesuiaiga:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

E aveesea ai le taua, ua tatou maua e faaaoga le tuufaatasiga e vaega iinei. Ae peitai, e le o le autu lenei o lenei tusiga. Afai e te fiafia, e mafai ona e aoao i latou lava e tauaveina ai o ia gaoioiga. E le faigata, ma lava le tomai ma le tausiga o le taimi alu.

Faatatau i le auala lona lua o le fofo o le faamatalaga e inhomogeneous: auala Bernoulli. O a auala e vave ma faigofie - e le o aʻe ia te oe.

O lea, pe a le foiaina o lenei auala, e tatau ona tatou faia le suia: y = k * n. Iinei, k ma n - nisi galuega tauave e faalagolago i x. Ona foliga e pei o le mafua mai i isi: y '= k' * n + k * n '. substitutions lua suia i le faaupuga:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Vaega i luga:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

O lenei e talafeagai ona faatusaina i le o, o loo i puipui. O lenei, afai e te tuufaatasia i faamatalaga mafua lua, tatou te maua ai se faiga o uluai faamatalaga e eseese ina ia mafai ai ona foia:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

O le mea muamua tutusa filifili pe faapefea le faaupuga e masani ai. Ina ia faia lenei mea, e tatau ona e vavae ese le fesuiaiga:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Tatou te le taua ma tatou maua: ln (n) = x ^2/2. Lea, afai tatou te faailoa atu n:

n = e ^{x2 / 2.}

O lenei suia i le faaupuga e mafua i le faamatalaga lona lua:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ma liua, tatou te maua ai le faamatalaga lava lea e tasi e pei o le uluai auala:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Tatou foi o le a le talanoaina isi gaoioiga. O loo faapea mai i faamatalaga e eseese muamua-ina muamua mafua fofo faigata tele. Ae peitai, a le faatofuina loloto i le autu ua amata ona maua lelei atu ma sili atu.

O fea oi ai faamatalaga e eseesega?

Lava toaaga faamatalaga e eseese faaaogaina i le fisiki, e pei ona e toetoe lava ua tusia o tulafono autu uma i ituaiga eseese, ma i latou o faiga, o le a tatou vaai - o se fofo i nei faamatalaga e. I le kemisi, o loo latou faaaogaina mo le mafuaaga lava lea e tasi: o loo maua le tulafono faavae e ala i latou. I le paiolo, le eseese o faamatalaga e faaaoga e faataitai le amioga o faiga, e pei o predator - vete. E mafai foi ona faaaoga e fatu ai faataitaiga o le toe faia, mo se faataitaiga, kolone o microorganisms.

A o fesoasoani faamatalaga e eseesega i le olaga?

O le tali o lenei fesili faigofie: e leai se mea. Afai e te le o se saienisi po o inisinia, e ono o le a latou aoga. Ae peitai, e le afaina ai ia iloa le mea o le i ai ma faaupuga eseese e foia mo le atinae atoa. Ma lea o le fesili o se atalii po o se afafine, "o se faaupuga eseesega?" te le tuu outou i se faaiuga ua oti. Ia, afai o oe o se saienisi po o inisinia, ona e iloa lea i le taua o lenei autu i so o se faasaienisi. Ae sili ona taua, o le taimi nei i le fesili "le auala e foia ai le faaupuga eseese o le poloaiga muamua?" e le mafai ona i taimi uma e tuuina atu se tali. Ioe, e manaia i taimi uma pe ae e iloa e oo lava i le fefe i mea o tagata e maua i fafo.

O le faafitauli autu i le suesuega

O le faafitauli autu i le malamalamaaga o lenei autu, o se mausa leaga o galuega tauave tuufaatasia ma eseesega. Afai o oe o le lelei manatu pogai ma integrals, e masalo e taua tele e aoaoina, e aoao eseese auala o tuufaatasia ma le eseesega, ma e na o le faaauauina lea o le suesuega o le mea ua faamatalaina i totonu o le tusiga.

O nisi tagata e teʻi i le iloa e mafai ona faaliliuina e dx, e pei ona muamua (i le aoga) finau e faapea o le vaega dy / dx o indivisible. Ona e tatau ona e faitau i le lomiga i le afua mai i isi ma malamalama e faapea o le uiga o le matua itiiti aofaiga, lea e mafai ona faaseseina i le foiaina faamatalaga e.

E toatele tagata e vave e iloa le tali o faamatalaga e eseesega o le poloaiga muamua - o lenei e masani lava o se galuega tauave po neberuschiysya taua, ma o lenei faaseseega latou te maua ai le tele o faafitauli.

A se isi mea e mafai ona suesue ina ia malamalama lelei?

E sili ona lelei e amata ai le faatofuina atili i le lalolagi o eseesega calculus o tusi aoga faapitoa, mo se faataitaiga, i le auiliiliga faamatematika mo tamaiti o specialties lē faamatematika. Ona mafai lea ona agai atu i le lomiga e sili faapitoa.

Ua fai mai e faapea, i le faaopoopo atu i le eseesega, o loo i ai pea le faamatalaga e taua, ina ia outou maua se mea e taumafai pea mo le ma le mea e suesue ai.

iʻuga

Matou te faamoemoe o le a uma ona faitauina lenei mataupu o le a outou maua se manatu o le a le faamatalaga e eseese ma le auala e foia ai le saʻo.

I soo se tulaga, matematika i so o se auala aoga ia i tatou i le olaga. E atiina ae mafuaaga ma le gauai atu, e aunoa ma le tagata uma, e pei ona e aunoa ma lima.